Apakah Infinity Datang dalam Berbagai Ukuran?


Dalam film Toy Story tahun 1995, tokoh aksi antariksa gung-ho Buzz Lightyear tanpa lelah menanamkan slogannya: "Menjadi tak terhingga ... dan seterusnya!" Lelucon itu, tentu saja, berakar pada asumsi yang masuk akal bahwa infinity adalah mutlak yang tak tertandingi. —Bahwa tidak ada yang di luar.

Dalam film Toy Story tahun 1995, tokoh aksi antariksa gung-ho Buzz Lightyear tanpa lelah menanamkan slogannya: "Menjadi tak terhingga ... dan seterusnya!" Lelucon itu, tentu saja, berakar pada asumsi yang masuk akal bahwa infinity adalah mutlak yang tak tertandingi. —Bahwa tidak ada yang di luar. Namun, asumsi itu tidak sepenuhnya masuk akal. Seperti yang ditunjukkan oleh matematikawan Jerman Georg Cantor pada akhir abad ke-19, ada berbagai ketakterhinggaan — dan mereka dapat diklasifikasikan berdasarkan ukuran relatifnya.

Logika Alam

Ambil, misalnya, apa yang disebut bilangan asli: 1, 2, 3, dan seterusnya. Angka-angka ini tidak terikat, dan dengan demikian koleksi, atau set, dari semua bilangan alami tak terbatas dalam ukuran. Tapi seberapa tak terbatas itu? Cantor menggunakan argumen yang elegan untuk menunjukkan bahwa naturals, walaupun jumlahnya sangat banyak, sebenarnya kurang banyak daripada keluarga bilangan umum lainnya: bilangan real. Set ini terdiri dari semua angka yang dapat direpresentasikan sebagai desimal, bahkan jika representasi desimal itu panjangnya tak terbatas. Karenanya, pi (3.14159 ...) adalah bilangan real, seperti halnya 27 (yang bersifat alami dan nyata).

Argumen Cantor menggunakan logika kontradiksi: ia pertama kali berasumsi bahwa set ini memiliki ukuran yang sama; selanjutnya dia mengikuti serangkaian langkah logis untuk menemukan cacat yang akan merusak asumsi itu. Dia beralasan bahwa jika natural dan real memiliki anggota yang sama banyak, maka dua set dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu. Yaitu, mereka dapat dipasangkan sehingga setiap elemen dalam setiap set memiliki satu — dan hanya satu— “mitra” di set lainnya.

Pikirkan seperti ini: meskipun tidak ada penghitungan angka, korespondensi satu-ke-satu dapat digunakan untuk mengukur jumlah relatif. Bayangkan dua peti dengan ukuran yang tidak diketahui, satu apel dan satu jeruk. Dengan menarik satu apel dan satu jeruk pada satu waktu, dengan demikian bermitra dengan dua set menjadi pasangan apel-jeruk. Jika isi kedua peti dikosongkan secara bersamaan, kedua kotak berisi jumlah buah yang sama; jika satu peti habis sebelum yang lain, yang memiliki sisa makanan lebih banyak.

Matematika Licik

Cantor kemudian mulai dengan menganggap bahwa naturals dan real dalam korespondensi. Dengan demikian, setiap bilangan alami n memiliki pasangan nyata r n . Real kemudian dapat didaftar sesuai dengan naturals yang sesuai: r 1, r 2, r 3, dan seterusnya.

Kemudian sisi cerdik Cantor keluar. Dia menciptakan bilangan real, yang disebut p, dengan aturan berikut: membuat digit n tempat setelah titik desimal di p sesuatu selain digit di tempat desimal yang sama di r n . Metode sederhana adalah: pilih 3 ketika digit yang dimaksud adalah 4; jika tidak, pilih 4.

Demi demonstrasi, katakanlah pasangan bilangan real untuk bilangan asli 1 adalah 27 (atau 27, 00000 ...), pasangan untuk 2 adalah pi (3, 14159 ...) dan pasangan 3 adalah bagian Presiden George W. Bush dari suara populer pada tahun 2000 (0.47868 ...). Sekarang buat p berikut konstruksi Cantor: digit di tempat desimal pertama p tidak boleh sama dengan di tempat desimal pertama r 1 (27), yaitu 0. Oleh karena itu, pilih 4, dan p mulai 0, 4 ... (Angka sebelum desimal dapat berupa apa saja; 0 digunakan di sini untuk kesederhanaan.) Kemudian pilih digit di tempat desimal kedua p sehingga tidak sama dengan di tempat desimal kedua r 2 (pi), yang adalah 4. Pilih 3, dan sekarang p = 0.43 .... Akhirnya, pilih digit di tempat desimal ketiga p sehingga tidak sama dengan angka di tempat desimal yang sesuai dari r 3 (persentase Presiden Bush), yang adalah 8. Menulis 4 lagi, membuat p = 0, 434 .... Dengan demikian, Anda memiliki:

Metode matematika ini (disebut diagonalisasi), terus berlanjut hingga tak terhingga dalam daftar, menghasilkan bilangan real ( p ) yang, menurut aturan konstruksinya, berbeda dari setiap bilangan real pada daftar di setidaknya satu tempat desimal. Ergo, itu tidak bisa ada dalam daftar.

Dengan kata lain, untuk pasangan alami dan real, ada bilangan real p tanpa pasangan bilangan alami — sebuah apel tanpa jeruk. Oleh karena itu, korespondensi satu-ke-satu antara real dan natural gagal, yang berarti bahwa tak terhingga bilangan real entah bagaimana lebih besar daripada tak terhingga bilangan alami.

Artikel ini awalnya diterbitkan dengan judul "Apakah Infinity Datang dalam Berbagai Ukuran?" in298, 1, 112 (Januari 2008)

TENTANG PENULIS)

John Matson adalah penyalin salinan di .

Berita Terbaru

Penyakit Nyamuk dan Kutu yang Ditimbulkan Meningkat di ASAS Membutuhkan Perencanaan Bencana yang Lebih CerdasWired Wheels: Memutar Masa Depan Transportasi Perkotaan [Video]Potongan Paling BaikPengembangan Batubara Mengancam Great Barrier ReefSeberapa Risiko 10 Teknologi Emerging Top Forum Ekonomi Dunia untuk 2016?Menangkap Arus Capricious AtlantikAkankah AS Perlu Membangun Batubara Lain atau Pembangkit Listrik Tenaga Nuklir?